यदि
` u = sqrt(a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta) + sqrt( a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta)`
तब `u^(2)`के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मानों में अंतर ज्ञात कीजिए ।

Explanation

दिया है :
` u = sqrt(a ^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta)+sqrt(a^(2) sin^(2) theta+ b^(2) cos ^(2) theta)`
` rArr u^(2) = a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta + a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta`
` + 2(sqrt(a^(2) cos^(2) theta+ b^(2) sin^(2) theta))*(sqrt(a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta))`
` = a^(2) + b^(2) + 2 sqrt(x (a^(2) + b^(2) - x))`
जहाँ ` x = a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta`
` rArr u^(2) = (a^(2)+b^(2)) + 2 sqrt((a^(2) + b^(2)) x - x^(2))`
दोनों पक्षों का ` theta`के सापेक्ष अवकलन करने पर
` d/(d theta) (u^(2)) = 2/(2 sqrt((a^(2) + b^(2))x - x^(2)))(a^(2) + b^(2) - 2x) * (dx)/(d theta)`
तथा ` (dx)/(d theta) = (b^(2) - a^(2)) sin 2 theta`
` :. (d(u^(2)))/(d theta) = ((a^(2)+b^(2) - 2x))/(sqrt((a^(2)+b^(2)) x - x^(2)))*(b^(2) - a^(2)) sin 2 theta`
उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मानों के लिए ` (du^(2))/(d theta) = 0`
` rArr a^(2) + b^(2) = 2 ( a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta) "तथा " sin 2 theta = 0`
` rArr cos 2 theta(b^(2) - a^(2)) = 0 "तथा " sin 2 theta = 0`
` rArr cos 2 theta = 0 " तथा " theta = 0`
` rArr 2 theta = pi/2 "तथा " theta = 0`
` rArr theta = pi/4 "तथा " theta = 0`
स्पष्टतः ` u^(2) ` उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ क्रमश : ` theta = pi/4 " व " theta = 0`पर होगा ।
` :. u^(2)_("min") = ( a + b)^(2) " तथा " u^(2)_("max") = 2 (a^(2) + b^(2))`
` :. u^(2) _("max") - u^(2) _("min") = 2 ( a^(2) + b^(2)) - (a + b)^(2) = (a - b)^(2) `