`C^(2)` वर्ग इकाई धातु से वर्गाकार आधार का एक खुला संदूक बनाना है सिद्ध कीजिए कि संदूक का उच्चिष्ठ आयतन `C^(3)/(6 sqrt3)` है ।

Explanation

माना वर्गाकार आधार की भुजा की लम्बाई = x
संदूक की ऊँचाई = y
संदूक का आयतन = r
दिया है : संदूक का दिया गया पृष्ठ ` = C^(2)`
` :. x^(2) + 4xy = C^(2) ` ...(1)
` rArr V = x^(2) y = x^(2) * (C^(2)-x^(2))/(4x) `
[समीकरण (1) का प्रयोग करने पर ]
` = 1/4 (C^(2) x - x^(3))` ...(2)
` rArr (dV)/(dx) = 1/4 (C^(2) - 3x^(2))`
व `(d^(2)V)/(dx^(2)) = - 3/2 x`
अब,V के चरम मानों के लिए
` (dV)/(dx) = 0 rArr C^(2) - 3x^(2) = 0`
` rArr x = pm C/sqrt3`
`:' x cancellt 0 "इसलिए" x = + C/sqrt3`
` x = C/sqrt3` के लिए ,
` (d^(2)V)/(dx^(2)) = - 3/2 * C/sqrt3 = - sqrt3/2 C lt 0`
` :. x = C/sqrt3` पर Vका मान उच्चिष्ठ होगा ।
तथा V का उच्चिष्ठ मान ( समीकरण (2) में ` x = C/sqrt3` रखने पर )
` = 1/4 [C^(2)* C/sqrt3 - (C/sqrt3)^(3)] = C^(3)/(6 sqrt3)`