सिद्ध कीजिये कि सबसे बड़े शंकु का आयतन जो कि त्रिज्या R के गोले के भीतर खींचा गया है , गोले के आयतन का `8/27` है ।

Explanation

माना OC = h, CQ = r
दिया है :OA = R
शंकु की ऊँचाई
` = OC + OA = h + R`
शंकु का आयतन
` = 1/3 pi r^(2) (h + R) ` ....(1)
अब `DeltaOCQ` से ,
` OC^(2) + CQ^(2) = OQ^(2)`
` rArr h^(2) + r^(2) = R^(2)`
` rArr r^(2) = R^(2) - h^(2) ` ....(2)
समीकरण (2)से यह मान समीकरण (1) में रखने पर
`V = 1/3 pi (R^(2) - h^(2))(h + R)` ...(3)
समीकरण (3) का hके सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dV)/(dh) = 1/3 pi [-2h(h+R)+(R^(2) - h^(2))*1]`
` = 1/3 pi [R^(2) - 2 hR - 3h^(2)]`
व `(d^(2)V)/(dh^(2)) = 1/3 pi (-2 R - 6h)` ...(4)
V के चरम मानों के लिए `(dV)/(dh) = 0`
` :. R^(2) - 2hR - 3h^(2) = 0`
` rArr (R + h)(R - 3h) = 0`
` rArr h = R/3 " "(.:' h ne - R)`
h का यह मान समीकरण (4) में रखने पर ,
` (d^(2)V)/(dh^(2)) = - 4/3 pi R lt 0`
` rArr V , h = R/3` के लिए उच्चिष्ठ होगा ।
तथा Vका उच्चिष्ठ मान ` = 1/3 pi (R^(2) - R^(2)/9)(1/3 R + R)`
` = 1/3 pi (8R^(2))/9 * (4R)/3 = 8/27 (4/3 pi R^(3))`
` = 8/27 xx` गोले का आयतन