सिद्ध कीजिये कि त्रिज्या R के गोले से उच्चिष्ठ आयतन का जो बेलन काटा जा सकता है , उसकी ऊँचाई ` (2 R)/sqrt3` है ।
उच्चिष्ठ आयतन भी ज्ञात कीजिये ।

Explanation

माना गोले की त्रिज्या = R
गोले से काटे गये बेलन की ऊँचाई = h
आधार की त्रिज्या = r
OA = R
CA = r
h = ` 2 * OC`

माना ` angleAOC = theta`
तब ` r = CA = R sin theta`
` OC = R cos theta rArr h = 2 R cos theta`
माना बेलन का आयतन V है तब
` V = pi r^(2) h`
` = pi (R sin theta)^(2) * 2 R cos theta`
` = 2 pi R^(3) sin^(2) theta cos theta` ...(1)
`(dV)/(d theta) = 2 pi R^(3) (2 sin theta cos^(2) theta - sin ^(3) theta)`......(2)
व ` (d^(2)V)/(d theta) = 2 pi R^(3) ( 2 cos^(3) theta - 7 sin^(2) theta cos theta)` ...(3)
हम जानते है कि V के चरम मानों के लिए

` (dV)/(d theta) = 0`
` rArr sin theta(2 cos^(2) theta - sin^(2) theta) =0`
` rArr tan^(2) theta = 2 rArr tan theta = sqrt2`
` :. sin theta = sqrt2/sqrt3 , cos theta = 1/sqrt3`
` :. (d^(2)V)/(d theta) = 2 pi R^(3) ( 2 * 1/(3 sqrt3) - 7 * 2/3 1/sqrt3) = (-8)/sqrt3 pi R^(3) lt 0`
` :. V`का मान उच्चिष्ठ होगा जब ` tan theta = sqrt2`
तथा V का उच्चिष्ठ मान ` = 2 pi R^(3) (sqrt2/sqrt3)^(2) (1/sqrt3) = (4 pi R^(3))/(3 sqrt3)`
तथा ` h = 2R cos theta = (2 R)/sqrt3`