सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त के अंतर्गत स्थित आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल अधिकतम होता है ।

Explanation

माना दिये गये वृत्त के अंतर्गत आयत ABCD का क्षेत्रफल
= A, जिसका केंद्र O है ।
` angleCAB = theta, AB = 2 r cos theta "व " BC = 2 r sin theta`
`A_(r) = AB xx BC`
` = 2 r cos theta xx 2 r sin theta`
` = 4 r^(2) sin theta cos theta`
` A_(r) = 2r^(2) sin 2 theta`
` rArr (dA_(r))/(d theta) = 4 r^(2) cos 2 theta`
अब , माना `(dA_(r))/(d theta) = 0`, तब
` 4 r^(2) cos 2 theta = 0 rArr cos 2 theta = 0`

` rArr 2 theta = pi/2 rArr theta = pi/4`
अब ,`(d^(2)A)/(d theta^(2))= - 8 r^(2) sin 2 theta`
माना `theta = pi/4`, तब
`[(d^(2)A)/(d theta^(2))]_(theta = pi/4) = - 8 r^(2) sin pi/2 = - 8 r^(2) lt 0`
यहाँ क्षेत्रफल उच्चिष्ठ है जब `theta = pi//4," तब " theta = pi//4` उच्चिष्ठ बिंदु है ।
अब ,` AB = 2 r cos. pi/4 = r sqrt2`
` BC = 2 r sin. pi/4 = r sqrt2`
इसलिए, ABCD एक वर्ग है क्योंकि AB = BC