सिद्ध कीजिए कि दिये गये आयतन के एक बेलन जो ऊपर से खुला है , का सम्पूर्ण पृष्ठ , निम्नतम तब होता है जब उसकी ऊँचाई , आधार की त्रिज्या के बराबर हो ।

Explanation

माना एक बेलन की त्रिज्या r, ऊँचाई h तथा आयतन V है ।
तब `V = pi r^(2) h "व " h = V/(pi r^(2))`
यदि S बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ है तब
`S = pi r^(2) + 2 pi rh = ( pi r^(2) + 2 pi r * V/( pi r^(2)))`
अब , `(dS)/(dr) = (2 pi r - (2 V)/r^(2))`
पुनः अवकलन करने पर ,
`(d^(2)S)/(dr^(2)) = (2 pi + (4V)/r^(3))`
अब , माना `(dS)/(dr) = 0`, तब
` rArr 2 pi r - (2V)/r^(2) = 0`
` rArr 2 pi r^(3) = 2 V = 2 pi r^(2) h`
` rArr r = h`
अब ,`(d^(2)S)/(dr^(2)), r = h`पर
`((d^(2)S)/(dr^(2)))_(r = h "पर ") = ( 2 pi + (4V)/h^(3)) gt 0`
अतः बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ r = h पर निम्निष्ठ है जब बेलन की त्रिज्या उसकी ऊँचाई के बराबर है ।