सिद्ध कीजिए की अधिकतम आयतन तथा दी गयी तिर्यक ऊँचाई वाले शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण ` cos^(-1). 1/sqrt3` होगा ।

Explanation

माना V शंकु का आयतन है जिसकी ऊँचाई h है तथा `alpha` शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण है जिसकी तिर्यक ऊँचाई l है ।

तब , शंकु की ऊँचाई = ` l cos alpha`
तथा आधार की त्रिज्या ` = l sin alpha`
तब ,`V = 1/3 pi r ^(2) h = 1/3 pi (l^(2) sin^(2) alpha) ( l cos alpha)`
` V = 1/3 pi l^(3) sin^(2) alpha cos alpha `
` alpha ` के सापेक्ष अवकलन करने पर
` (dV)/(dalpha) = 1/3 pi l ^(3) ( - sin^(3) alpha + 2 sin alpha cos^(2) alpha)`
` (dV)/(dalpha) = 1/3 pi l^(3) sin alpha( 2 cos^(2) alpha - sin^(2) alpha) ` ...(1)
पुनः अवकलन करने पर
` (d^(2)V)/(dalpha^(2)) = 1/3 pi l^(3) cos alpha (2 cos^(2) alpha- sin^(2) alpha) + 1/3 pi l^(3) sin alpha(-4 sin alpha cos alpha - 2 sin alpha cos alpha)`
` = 1/3 pi l^(3) cos^(3) alpha(2 - 7 tan^(2) alpha)` ...(2)
अब , माना `(dV)/(d alpha) = 0` उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिए
`rArr 1/3 pi l^(3) sin alpha ( 2 cos^(2) alpha - sin^(2) alpha) = 0`
` rArr sin alpha = 0 " या " 2 cos^(2) alpha - sin^(2) alpha = 0`
` rArr = 0 " या " alpha = tan^(-1) sqrt2 rArr tan alpha = sqrt2`
` rArr sec^(2) alpha = 3 rArr cos alpha = 1/sqrt3 rArr alpha = cos^(-1). 1/sqrt3`
अब ,` alpha = tan^(-1) sqrt2` समीकरण (2) में रखने पर
`[(d^(2)V)/(d alpha^(2))]_(alpha = cos^(-1). 1/sqrt3 " पर ") = 1/3 pi l^(3) (1/sqrt3)^(3) (2 - 14) = - ( 4 pi l^(3))/(3 sqrt3) lt 0`
इसलिए ,`alpha = cos ^(-1) . 1/sqrt3` पर V उच्चिष्ठ है ।