सिद्ध कीजिए कि दिये गये वक्रपृष्ठ वाले बेलन जो ऊपर से खुला है , का आयतन अधिकतम तब होगा जब उसकी ऊँचाई उसके आधार की त्रिज्या के बराबर हो ।

Explanation

माना एक खुले बेलन की त्रिज्या r, ऊँचाई h तथा सम्पूर्ण पृष्ठ S है । तब
` S = ( pi r^(2) + 2 pi r h ) " या " h = ((S - pi r^(2))/(2 pi r))`
व ` V = pi r^(2) h = pi r^(2) ((S - pi r^(2))/(2 pi r))`
` V = ((rS - pi r^(3))/2)`
r के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dV)/(dr) = ((S - 3 pi r^(2))/2)` ...(1)
` rArr (d^(2)V)/(dr^(2)) = - 3 pi r` ...(2)
अब , माना `(dV)/(dr) = 0`,
` (S- 3pi r^(2))/2 = 0 rArr S - 3 pi r^(2) = 0`
` rArr pi r^(2) + 2 pi r h - 3 pi r^(2) = 0 rArr h = r`
अब r = h समीकरण (2) में रखने पर
` ((d^(2)V)/(dr^(2)))_(r = h) = - 3 pi h lt 0`
अतः r = h पर Vउच्चिष्ठ है तथा r उच्चिष्ठ बिंदु है ।