सिद्ध कीजिए कि के गोले के अंतर्गत महत्तम आयतन के शंकु के लिए उसके शीर्षलम्ब का तीन गुना गोले के व्यास का दोगुना होगा । R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत महत्तम शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए ।

Explanation

माना R त्रिज्या व O केंद्र का एक गोला है तथा इसके अंतर्गत शंकु का आयतन V है जिसकी आधार त्रिज्या r तथा ऊँचाई hहै ।

` R^(2) = (h - R)^(2) + r^(2)`
` rArr r^(2) = h (2 R - h)`
` rArr r^(2) = h(2 R - h)`
व ` V = 1/3 pi r^(2) h`
` = 1/3 pi h^(2) (2 R - h)`
अब ,h के सापेक्ष अवकलन करने पर
` (dV)/(dh) = 1/3 pi h (4 R - 3h)`
` rArr (d^(2)V)/(dh^(2)) = (4/3 pi R - 2 pi h)`
अब , माना `(dV)/(dh) = 0`उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिए
` rArr 1/3 pi h(4 R - 3h) = 0`
` rArr h = 0 "या " 4 R - 3h = 0 rArr h = 4/3 R`
अब ,`[(d^(2)V)/(dh^(2))]_(h = 4/3 R" पर") = (-4pi R)/3 lt 0`
अतः ` h = (4R)/3 ` पर V उच्चिष्ठ है तथा h उच्चिष्ठ बिंदु है ।
अब ,` 3 h = 4R rArr 3h = 2 (2 R)`
` :. ` बड़े शंकु का आयतन
` = 1/3 pi xx (16R^(2))/9 xx (2R - (4R)/3) = (32 pi R^(3))/81`