सिद्ध कीजिए कि महत्तम आयतन के उस लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई जो r त्रिज्या के गोले के अंदर स्थित है ,`(4 r)/3` है
तथा इस शंकु का अधिकतम आयतन गोले के आयतन के रूप में ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना R शंकु की त्रिज्या तथा h ऊँचाई है जो r त्रिज्या के गोले के अंदर स्थित है ।

` :. OA = h - r `
` DeltaAOB` में , पाइथागोरस प्रमेय से -
` r^(2) = R^(2) + (h - r)^(2)`
` rArr r^(2) = R^(2) + h^(2) + r^(2) - 2rh`
` rArr R^(2) = 2rh - h^(2)` ...(1)
गोले का आयतन ` = 4/3 pi r^(3)`
तथा शंकु का आयतन ` V = 1/3 pi R^(2) h`
` rArr V = 1/3 pi h (2 r h - h^(2))` [समीकरण (1) से ]
` rArr V = 1/3 pi (2 r h^(2) - h^(3))` ....(2)
समीकरण (2) के दोनों पक्षों को के सापेक्ष अवकलन करने पर -
` (dV)/(dh) = 1/3 pi (4 r h - 3 h^(2))` ...(3)
अधिकतम तथा न्यूनतम के लिए `(dV)/(dh) = 0` रखने पर -
` rArr 1/3 pi (4 r h - 3 h^(2)) = 0`
` rArr 4 rh = 3h^(2) rArr 4 r = 3h`
` rArr h = (4r)/3 " "[:' h ne 0]`
समीकरण (3) के दोनों पक्षों का के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर -
`(d^(2)V)/(dh^(2)) = 1/3 pi (4 r - 6h)`
` h = (4r)/3"पर " to ((d^(2)V)/(dh^(2)))_(h - (4r)/3) = 1/3 pi (4r - 6 xx (4r)/3)`
` rArr pi/3 (4 r - 8 r) = - (4 r pi)/ 3 lt 0 `
` rArr pi/3 (4 r - 8r) = - (4 r pi)/3 lt 0`
` rArr h = (4r)/3 ` पर अधिकतम है ।
समीकरण (2) में h का मान प्रतिस्थापित करने पर -
`V = 1/3 pi [2r((4r)/3)^(2) - ((4r)/3)^(3)]`
` = pi/3 [32/9 r^(3) - 64/27 r^(3)] = pi/3 r^(3) [32/9 - 64/27]`
` = pi/3 r^(3) [(96-64)/27] = pi/3 r^(3) [32/27]`
` = 8/27 xx (4/3 pi r^(3)) = 8/27 xx `( गोले का आयतन )
अतः शंकु का अधिकतम मान गोले के आयतन का `8/27` है ।