सिद्ध कीजिये कि दिये हुए सम्पूर्ण पृष्ठ और अधिकतम आयतन वाले शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण ` sin^(-1) (1/3)` होगा ।

Explanation

` S = pi r^(2) + pi r l`
` pi r l = S - pi r^(2) rArr l = S/(pi r) - r` ...(1)
` V = 1/3 pi r^(2) h rArr V^(2) = 1/9 pi^(2) r^(4) (l^(2) -r^(2)) = u` ( माना )
`rArr u = pi^(2)/9 [(S^(2)r^(2))/pi^(2) -(2Sr^(4))/pi] rArr (du)/(dr) = pi^(2)/9 [(S^(2)2r)/pi^(2) - (2S)/pi 4 r^(3)]`
तथा `(d^(2)u)/(dr^(2)) = pi^(2)/9 [(2S^(2))/pi^(2) - (2S)/pi 12 r^(2)]`
` (du)/(dr) = 0 rArr S = 4 pi r^(2) `
` l = (4pir^(2))/(pi r) - r = 4r - r = 3r`
समकोण त्रिभुज OBC में , `sin theta = r/l = r/(3 r) = 1/3 rArr theta = sin^(-1). 1/3`