`int_(0)^(pi//2)(cosxdx)/((3cosx+sinx))`का मान ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`int_(0)^(pi//2)(cosx)/((3cosx+sinx))dx`
अब, आंशिक भिन्नों में व्यक्त करने पर
`cosx=A(3cosx+sinx)+B(d)/(dx)(3cosx+sinx)`
`cosx=A(3cos x+sinx)+B(-3sinx+cosx)" ...(1)"`
दोनों ओर `cos x` तथा `sin x` के गुणांकों की तुलना करने पर, तब
`3A+B=1" ...(2)"`
`A-3B=0" ...(2)"`
समीकरण (2 ) व (3 ) को हल करने पर
`A=(3)/(10)` व `B=(1)/(10)`
अब समीकरण (1 ) से,
`cosx=(3)/(10)(3cosx+sinx)+(1)/(10)(-3sinx+cosx)`
अब
`int_(0)^(pi//2)(cosx)/((3cosx+sinx))dx=(3)/(10)int_(0)^(pi//2)((3cosx+sinx))/((3cosx+sinx))dx+(1)/(10)int_(0)^(pi//2)((-3sinx+cosx))/((3cosx+sinx))dx`
`=(3)/(10)int_(0)^(pi//2)dx+(1)/(10)int_(0)^(pi//2)((-3sinx+cosx))/((3 cos x+sinx))dx`
`=(3)/(10)[x]_(0)^(pi//2)+(1)/(10)[log(3cosx+sinx)]_(0)^(pi//2)`
`=((3pi)/(20)-(log3)/(10))`