सिद्ध कीजिए कि
`int_(0)^(pi//2)(sin^(2)x)/((1+sinxcosx))dx=(pi)/(3sqrt3)`

Explanation

माना `I=int_(0)^(pi//2)(sin^(2)x)/((1+sinx cosx))dx" …(1)"`
`=int_(0)^(pi//2)(sin^(2)[(pi//2)-x])/([1+sin[(pi//2)-x]cos[(pi//2)-x])dx`
`I-int_(0)^(pi//2)(cos^(2)x)/((1+sinx cosx))dx" ...(2)"`
अब समीकरण (1 ) व (2 ) को जोड़ने पर
`2I=int_(0)^(pi//2)((sin^(2)x+os^(2)x))/((1+sinx cosx))dx=int_(0)^(pi//2)(dx)/((1+sin x cosx))`
अब अंश व हर को `cos^(2)x,` से भाग देने पर
`int_(0)^(pi//2)(dx)/((1+sinx cosx))=int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/((sec^(2)x+tanx))dx`
यदि `t=tan x rArr dt = sec^(2) xdx`
तथा सीमाएँ `t=0` पर `x=0` व `t=oo` पर `x=(pi)/(2)`, तब
`int_(0)^(pi//2)(sec^(2)x)/((1+tan^(2)x+tanx))dx=int_(0)^(oo)(dt)/((t^(2)+t+1))`
`=int_(0)^(oo)(dt)/((t+(1)/(2))^(2)+((sqrt3)/(2))^(2))`
`=[(2)/(sqrt3)tan^(-1)((2t+1)/(sqrt3))]_(0)^(oo)`
`=(2)/(sqrt3)[tan^(-1)(oo)-tan^(-1)((1)/(sqrt3))]`
`=(2)/(sqrt3).((pi)/(2)-(pi)/(6))=(2pi)/(3sqrt3)`
`rArr" "I=(pi)/(3sqrt3)`