सिद्ध कीजिए कि
`int_(0)^(pi)(x sinx)/(1+cos^(2)x)dx=(pi^(2))/(4)`

Explanation

माना `I=int_(0)^(pi)/(0)(x sin x)/(1+cos^(2)x)dx" …(1)"`
`=int_(0)^(pi)((pi-x)sin(pi-x))/(1+cos^(2)(pi-x))dx" "` [प्रगुण (4 ) से ]
`=int_(0)^(pi)((pi-x)sinx)/(1+cos^(2)x)dx" ....(2)"`
समी० (1 ) व (2 ) का योग करने पर,
`2I=int_(0)^(pi)((x+pi-x)sinx)/(1+cos^(2)x)dx`
`=piint_(0)^(pi)(sinx)/(1+cos^(2)x)dx`
माना `cosx=t" "therefore" "-sin x dx =dt`
सीमाएँ - x = 0 पर t = 1 तथा `x=pi` पर `t=-1`
अतः नयी समाकलन सीमाएँ '1 से -1' हैं।
अतः`" "2I=-piint_(1)^(-1)(dt)/(1+t^(2))`
`=pi int_(-1)^(1)(dt)/(1+t^(2))" "` [प्रगुण (2 ) से ]
`rArr" "2I=2pi int_(0)^(1)(dt)/(1+t^(2))" "` [प्रगुण (5 ) से]
`rArr" "2I=2pi[tan^(-1)t]_(0)^(1)`
`=2pi[tan^(-1)(1)-tan^(-1)(0)]`
`therefore" "I=pi((pi)/(4))=(pi^(2))/(4)`
`therefore" "I=(pi^(2))/(4)`