सिद्ध कीजिए कि `int_(0)^(1)(logx)/(sqrt(1-x^(2)))dx=(pi)/(2)log((1)/(2))`

Explanation

माना `I=int_(0)^(1)(logx)/(sqrt(1-x)^(2))dx`
माना `x=sin theta rArr dx=cos theta d theta`
तथा `sqrt(1-x^(2))=sqrt((1-sin^(2)theta))=cos theta`
सीमायें - यदि `x=0 rArr theta = 0 ` यदि `x=1 rArr theta = pi//2`
अतः नयी समाकलन सीमायें '0 से `pi//2'` हैं।
`therefore" "I=int_(0)^(pi//2)(log sin theta)/(cos theta).cos theta d theta`.
`rArr" "I=int_(0)^(pi//2)log sin theta d theta" ...(1)"`
`=int_(0)^(pi//2)log sin ((pi)/(2)-theta)d theta" "` [ प्रगुण (4 ) से ]
`rArr" "I=int_(0)^(pi//2)log cos theta d theta" ..(2)"`
समीकरण (1 ) व (2 ) का योग करने पर ,
`2I=int_(0)^(pi//2)(log sin theta+log cos theta) d theta`
`=int_(0)^(pi//2)log sin theta cos theta d theta`
`=int_(0)^(pi//2)log((sin 2 theta)/(2))d theta`
`=int_(0)^(pi//2)log sin 2 theta d theta-int_(0)^(pi//2)log 2 d theta`
माना `2 theta = t rArr d theta = (1)/(2)dt`
सीमायें - `theta=0` पर t = 0 तथा `theta=pi//2` पर `t=pi`
अतः नयी समाकलन सीमायें '0 से `pi'` हैं।
`therefore" "2I=(1)/(2)int_(0)^(pi)log sin tdt-log 2 [theta]_(0)^(pi//2)`
`=(2)/(2)int_(0)^(pi//2)log sin t dt- log 2 [(pi)/(2)-0]" "` [प्रगुण (6 ) से]
`=int_(0)^(pi//2)log sin theta d theta -(pi)/(2)log2" "` [प्रगुण (1 ) से ]
`rArr" "2I=I-(pi)/(2)log2" "` [समी० (1 ) से ]
`rArr" "I=(pi)/(2)log(2)^(-1)=(pi)/(2)log((1)/(2))`