सिद्ध कीजिए कि,
`int_(0)^(pi//2)(x sin x cos x dx)/(cos^(4)x+sin^(4)x)=(pi^(2))/(16)`

Explanation

माना `I=int_(0)^(pi//2)(x sin x cos x)/(cos^(4)x+sin^(4)x)dx`
`rArr" "I=int_(0)^(pi//2)(((pi)/(2)-x)sin((pi)/(2)-x)cos((pi)/(2)-x)dx)/(cos^(4)((pi)/(2)-x)+sin^(4)((pi)/(2)-x))`
[प्रगुण (4 ) से ]
int`I=_(0)^(pi//2)(((pi)/(2)-x)cosxsin x dx)/(sin^(4)x+cos^(4)x)" ..(2)"`
समी० (1 ) व (2 ) का योग करने पर,
`2I=int_(0)^(pi//2)((x+(pi)/(2)-x)sin x cos x dx)/(sin^(4)x+cos^(4)x)`
`=(pi)/(2)int_(0)^(pi//2)(sinx cos x dx)/(sin^(4)x+cos^(4)x)`
अंश व हर को `cos^(4)x` से भाग देने पर ,
`2I=(1)/(2)pi int_(0)^(pi//2)(tanx sec^(2)x)/(1+tan^(4)x)dx`
माना`" "tan^(2)x=t rArr 2 tan x sec^(2)x dx =dt`
या`" "tanx sec^(2)x dx=(1)/(2)dt`
सीमायें - यदि x = 0 तब t = 0 तथा यदि `x=(pi)/(2)` तब `t=oo`
`therefore" "` नयी समाकलन सीमायें '0 से `oo'` हैं अतः
`2I=(pi)/(4)int_(0)^(oo)(dt)/(1+t^(2))=(pi)/(4)[tan^(-1)t]_(0)^(oo)`
`=(pi)/(4)[tan^(-1)oo-tan^(-1)0]=(pi)/(4)[(pi)/(2)-0]=(pi^(2))/(8)`
`therefore" "I=(pi^(2))/(16)`