सिद्ध कीजिए कि,
`int_(0)^(pi)(xdx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)=(pi^(2))/(2ab)`

Explanation

माना `I=int_(0)^(pi)(xdx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)" ...(1)"`
`rArr" "I=int_(0)^(pi)((pi-x)dx)/(a^(2)cos^(2)(pi-x)+b^(2)sin^(2)(pi-x))`
`" "` [प्रगुण (4 )से ]
समी० (1 ) व (2 ) का योग करने पर ,
`=int_(0)^(pi)((pi-x)dx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)" ...(2)"`
`2I=int_(0)^(pi)((x+pi-x)dx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)`
`rArr 2I=pi int_(0)^(pi)(dx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)`
`=2piint_(0)^(pi//2)(dx)/(a^(2)cos^(2)x+b^(2)sin^(2)x)`
`" "` [प्रगुण (6 )से ]
अंश व हर को `cos^(2)x` से भाग देने पर ,
`I=pi int_(0)^(pi//2)(sec^(2)xdx)/(a^(2)+b^(2)tan^(2)x)`
`=(pi)/(a^(2))int_(0)^(pi//2)(sec^(2)xdx)/(1+((b tan x)/(a))^(2))`
माना`" "(b)/(a)tan x=t rArr sec^(2) xdx=(a)/(b)dt`
सीमायें - x = 0 तो t = 0 तथा, `x=(pi)/(2)` पर, `t=oo`
अतः नयी समाकलन सीमायें '0 से `oo`' हैं, अतः
`I=(pi)/(ab)int_(0)^(oo)(dt)/(1+t^(2))=(pi)/(ab)[tan^(-1)(t)]_(0)^(oo)`
`=(pi)/(ab)[tan^(-1)(oo)-tan^(-1)(0)]`
`=(pi)/(ab)[(pi)/(2)-0]=(pi^(2))/(2ab)`