योग परिभाषा द्वारा `int_(a)^(b)x^(2)dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`int_(a)^(b)x^(2)dx=underset(hrarr0)(lim)h[a^(2)+(a+h)^(2)+(a+2h)^(2)+…+(a+(n-1)h)^(2)]`
`" "` जहाँ `nh=b-a`
`=underset(hrarr0)(lim)[(nh)a^(2)+a(nh)(nh-h)+(1)/(6)(nh)(nh-h)(2nh-h)]`
`=underset(hrarr0)(lim)[(b-a)a^(2)+a(b-a)(b-a-h)+(1)/(3)(b-a-h)(b-a-(h)/(2))(b-a)]`
`=(b-a)a^(2)+(b-a)^(2)a+(1)/(3)(b-a)^(3)`
`=((b-a)/(3))[3a^(2)+3a(b-a)+(b-a)^(2)]`
`=(b-a)/(3)[3a^(2)+3ab-3a^(2)+b^(2)-2ab+a^(2)]`
`=(b-a)/(3)(a^(2)+ab+b^(2))`
`=(1)/(3)(b^(3)-a^(3))`