वृत्त ` x ^(2) + y ^(2) = a ^(2) ` का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जबकि a वृत्त की त्रिज्या है |

Explanation

वृत्त का समीकरण ` x ^(2) + y ^(2) = a ^(2) ` है जिसकी त्रिज्या a है |यह वक्र x - अक्ष तथा y - अक्ष के परितः सममित है | अक्ष इस वक्र को चार सममित है | अक्ष इस वक्र को चार सममित भागो में विभाजित करते है अतः हम इसके एक भाग ( प्रथम चतुर्थांश में स्थित भाग ) का क्षेत्रफल ज्ञात करके चार से गुणा कर देंगे जिससे हमे वृत्त का क्षेत्रफल प्राप्त हो जाएगा | माना ` P (x, y ) ` वृत्त पर स्थित ` delta x ` चौड़ाई की एक प्रारम्भिक पट्टी ( elementary strip ) है | जिसकी लम्बाई y है | अतः प्रारम्भिक पट्टी PQ का क्षेत्रफल ` y delta x ` है | हम वृत्त के चतुर्थांश की इसी प्रकार की प्रारम्भिक पट्टियों में विभाजित कर सकते है | यदि वृत्त का क्षेत्रफल A है, तब वक्र की सममिति के आधार पर अभीष्ट क्षेत्रफल
` A = 4 int _ 0 ^ a y dx = 4 int _ 0 ^ a sqrt (( a ^(2) - x ^(2))) dx `

` ( because x ^(2) + y ^(2) = a ^(2) rArr y = sqrt ( a ^(2) - x ^(2))) `
माना ` x = a sin theta rArr d x = a cos theta d theta `
सीमाएं ` x = 0 ` पर ` theta = 0 ` तथा ` x = a ` पर ` theta = pi// 2 `
इसलिए नयी समाकलन सीमाएं `'0 ` से ` pi//2 '` है, अतः
` A = 4int _ 0 ^ ( pi//2) a ^(2) cos ^( 2 ) theta d theta `
` = 4 a ^(2) int _ 0 ^( pi//2) (( 1 + cos 2 theta )) /( 2 ) d theta = 2 a ^(2) [ theta + ( sin theta ) /(2) ] - 0 ^ ( pi//2 ) `
` = 2a ^(2) [ ( pi //2 + ( sin pi ) /(2)) - ( 0 + ( sin 0 ) /( 2 ) ) ] `
` = pi a ^(2) ` वर्ग इकाई