दीर्घवृत्त ` ( x ^(2))/(a^(2)) + ( y ^(2))/( b ^(2)) = 1 ` का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये |

Explanation

माना दीर्घवृत्त x - अक्ष तथा y - अक्ष को क्रमशः ` A _1, A _ 2 ` और ` B _ 1, B_ 2 ` पर काटता है | वक्र दोनों अक्षो के परितः सममित है | अतः इसके एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे चार से गुणा करने पर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात हो जाएगा |
माना वक्र पर स्थित बिंदु ` P ( x , y ) ` पर हमने एक प्रारम्भिक पट्टी PQ ली जिसकी लम्बाई y तथा चौड़ाई `delta x ` है | अतः प्रारम्भिक पट्टी का क्षेत्रफल = ` y * delta x ` | हम पुरे चतुर्थांश को इसी प्रकार की प्रारम्भिक पट्टियों में विभाजित करके उनके क्षेत्रफलों का योग करें तब हमे वक्र के प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल प्राप्त होगा जिसे चार से गुणा करने पर पुरे दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात हो जाएगा | स्पष्ट है कि समाकलन सीमायें '0 से a' होंगी | अतः
` because ( x ^( 2) ) /(a^( 2)) + ( y ^(2))/( b ^(2)) = 1 `
` rArr ( y ^(2))/( b ^(2)) = 1 - ( x ^(2))/(a ^(2)) `
` rArr y = ( b) /(a) sqrt ( a ^(2) - x ^(2)) `
अतः ` A = 4 int _ 0 ^ a y dx = (4b ) /(a) int _0 ^ a sqrt ( ( a ^(2) - x ^(2)) ) dx `
माना ` x = a sin theta rArr dx = a cos theta //d theta `
तथा ` sqrt ( a ^(2) - x ^(2)) = a cos theta `
सीमायें ` x = 0 ` पर ` theta = 0 ` तथा ` x = a ` पर ` theta = pi //2 `
अतः नयी समाकलन सीमायें '0 से `pi//2 ` ' होंगी|
` therefore A = ( 4b) /(a) * a ^(2) int _ 0 ^( pi//2) cos ^( 2 ) theta d theta `
` = 2 ab int _ 0 ^( pi//2) ( 1 + cos 2 theta ) d theta `
` = 2 ab [ theta + ( sin 2 theta ) /(2) ] _ 0 ^( pi//2) `
` = 2 ab [ ( pi//2 + ( sin pi ) /(2)) - ( 0 + ( sin 0 ) /(2) ] `
` = pi ab ` वर्ग इकाई