वक्र ` y = sin x, x ` अक्ष तथा कोटियों ` x = 0 ` तथा ` x = 2pi ` के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये |

Explanation

वक्र ` y = sin x ` का ` x = 0 ` से ` x = 2pi ` के मध्य लेखाचित्र, चित्र में दर्शाया गया है

चित्र में स्पष्ट है कि ` 0 le x le pi ` के मध्य y धनात्मक है अतः वक्र x - अक्ष के ऊपर स्थित है तथा ` pi le x le 2pi ` के मध्य y ऋणात्मक है अतः इस अंतराल में वक्र x - अक्ष के नीचे स्थित है के अनुसार वक्र का अंतराल ` pi le x le 2pi` के मध्य क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें y को ' -1 ' से गुणा करना होगा | प्रश्नानुसार हमे वक्र के छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है | अतः अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल A = OA के मध्य वक्र का क्षेत्रफल + AB के मध्य वक्र का क्षेत्रफल
` rArr A = int _ 0 ^(pi ) y dx + int _ pi ^ ( 2pi ) ( -y ) dx `
ydx प्राम्भिक पट्टी PQ तथा P'Q' का क्षेत्रफल है |
` = int_0^(pi) sinx dx + int _pi ^(2pi ) ( -sin x ) dx `
= ` [- cos x]_0^(pi) + [cos x ] _ pi ^(2pi) `
` =-[cos pi - cos 0 ] + [cos 2pi - cos pi ] `
` = - [ - 1 -1 ] + [ 1- ( -1) ] =4 ` वर्ग इकाई