क्षेत्र `{(x,y) :x ^(2 ) le y le x } ` का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Explanation

माना समीकरण
` y = x ^(2) ` ... (1)
तथा ` y = x ` ... (2)
समीकरण (1 ) व (2 ) को हल करने पर
` x ^(2) = x rArr x ^(2 ) - x = 0 `
` rArr x ( x- 1 ) = 0 rArr x=0, 1 `
समीकरण (2 ) से, ` x = 0 ` पर y = 0 तथा x = 1 पर y = 1

अतः प्रतिच्छेद बिंदु `O (0, 0 ) ` तथा `A(1, 1) ` है |
अब ` AM bot OX ` तब
अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित क्षेत्रफल
= ( क्षेत्रफल OMAO ) - ( क्षेत्रफल OMACO )
` = int _ 0 ^(1) ` ( रेखा के लिए y ) dx - ` int _ 0 ^(1) ` ( परवलय के लिए y ) dx
` = int _ 0 ^( 1 ) xdx - int _ 0 ^( 1 ) x ^2 dx = [ ( x ^(2))/( 2 ) ] _ 0 ^(1) - [ ( x ^( 3))/( 3 )]_0 ^( 1 ) `
` = [ ( 1) /(2) - ( 1 ) /(3) ] = ( 1 ) /(6) ` वर्ग इकाई