सिद्ध कीजिए कि परवलयों ` y ^(2) = 4 ax ` तथा ` x ^(2) = 4ay ` के बीच के क्षेत्रफल ` ( 16 ) /(3) a ^(2) ` होगा |

Explanation

वक्रो के समीकरण ` y ^(2) = 4ax ` ... (1)
तथा ` x ^(2) = 4ay ` ... (2)
समीकरण (2 ) का वर्ग करने पर
` x ^(4) = 16 a ^(2) y ^(2) = 16 a ^(2) * 4ax ` [समीकरण (1 ) से ]
` rArr x ^( 4 ) = 64 a ^( 3 ) x `
` rArr x (x ^( 3 ) - 64 a ^( 3 ) ) = 0 `
` therefore x = 0 ` या x = 4a , जब x = 0 तब y = 0 [समी० (1) से ]
समीकरण (2 ) में x = 4a रखने पर, `y = 4a `
अतः वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु O( 0, 0) तथा A (4a, 4a) है| A से x - अक्ष पर AM लम्ब डालिये |

प्रश्नानुसार , हमें छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है | यदि अभीष्ट क्षेत्रफल A है, तब
` A = int _ 0 ^( 4a ) y dx ` [समीकरण (1 ) से] ` - int _ 0 ^( 4a ) ydx ` [समीकरण (2 ) से]
` = int _ 0 ^(4a) sqrt ( 4ax ) dx - int _ 0 ^( 4a) ( ( x ^(2 ))/( 4a ) ) dx `
` = 2a ^( 1//2) int _ 0 ^( 4a) x ^( 1//2) dx - ( 1) /( 4a) int _ ( 0 ) ^( 4a) x ^( 2 ) dx `
` = 2 a ^( 1//2) * ( 2) /(3) [ x ^( 3//2) ] _ 0 ^(4a) - ( 1) /(4a ) * ( 1 ) /(3) [ x ^( 3) ] _ 0 ^(4a) `
` = ( 4a^( 1//2)) /(3) [ ( 4a) ^( 3//2) - 0 ] - ( 1 ) /(12 a ) [ ( 4a ) ^( 3 ) - 0 ] `
` = (4a^( 1//2))/(3) 8 a ^(3//2) - ( 1 ) /(12a) 64 a ^(3) `
` = (32) /(3) a ^(2) - ( 16) /(3) a ^(2) = (16) /(3) a ^(2) `
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = ` ( 16 ) /(3) a ^(2) ` वर्ग इकाई