परवलय ` y ^(2) = 4ax ` तथा सरल रेखा ` y = mx ` के अंतर्गत क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Explanation

प्रदत्त वक्र
` y ^(2) = 4ax ` ... (1)
तथा ` y = mx ` ... (2 )
समीकरण (1 ) व (2 ) से,
` m^(2) x ^(2) - 4ax = 0 `
` rArr x ( m ^( 2 ) x - 4a ) = 0 `
`rArr x = 0 ` या ` x = ( 4a ) / ( m ^(2)) `
समीकरण (2 ) से,
यदि ` x = 0 ` तब ` y = 0 `
यदि ` x = ( 4a ) /( m ^(2) ) ` तब ` y = ( 4a ) /(m ) `

अतः दोनों वक्र ` O ( 0, 0) ` तथा ` A ( ( 4a ) / ( m ^(2)) , ( 4a) / ( m^2 ) ) ` पर काटते है |
प्रश्नानुसार, हमे छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है | अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफ यदि A है, तब
` A = int _ 0^( 4 a // m ^(2)) ( y _ 1 - y _ 2 ) d x `
` = int _ 0 ^( 4 a // m ^(2)) ( sqrt( 4ax ) - mx ) dx ( because y_ 1 ^(2) = 4ax ` तथा ` y _ 2 = mx ) `
` = 2 a ^( 1 //2) [ ( x ^( 3//2))/( 3//2) ] _ 0 ^( 4a//m ^(2)) - m [ ( x ^2) /( 2 ) ] _ 0 ^( 4a//m ^(2)) `
` = ( 4 ) /(3) a ^( 1//2) [ ( ( 4a) /( m ^(2)) )^(3//2) - 0 ] - ( m ) /(2) [ (( 4a) /(m ^(2))) ^(2) - 0 ] `
` = ( 8 a ^(2))/( 3 m ^( 3 )) `
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = ` ( 8 a ^(3))/( 3 m ^( 3)) ` वर्ग इकाई