दो वृत्तों ` x ^(2) + y ^(2) = 4 ` तथा ` ( x - 2 ) ^(2 ) + y ^(2) = 4 ` से सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये |

Explanation

दिया है : ` x ^(2) + y ^(2) = 4 ` ... (1)
तथा ` ( x - 2 ) ^(2) + y ^(2) = 4 ` ... ( 2)
वृत्त (1 ) का केंद्र = ` (0, 0) `
वृत्त (2 ) का केंद्र ` = (2, 0)`
समीकरण (1 ) व (2 ) को हल करने पर
` ( x - 2 ) ^(2) + y ^(2) = x ^(2) + y ^(2) `
`rArr x ^(2) - 4x + 4 + y ^(2) = x ^(2 ) + y ^(2) `
` rArr x = 1 ` तथा ` y = pm sqrt 3 `

` therefore ` प्रतिच्छेद बिंदुओं A व A' के निर्देशांक
` A = A ( 1, sqrt3) ` तथा ` A' = A' ( 1, - sqrt 3) `
अब, अभीष्ट क्षेत्फल
` = 2 ( ODAO ` का क्षेत्रफल + DCAD का क्षेत्रफल )
` = 2 ( int _ 0 ^( 1 ) y dx + int _ 1 ^( 2) ydx ) `
` = 2 ( int _0 ^( 1 ) sqrt ( 4 - ( x - 2 ) ^( 2 )) * dx + int _ 1 ^( 2 ) sqrt ( 4 - x ^(2)) * dx ) `
` = 2 [ (1) /(2) ( x - 2 ) sqrt ( 4 - ( x - 2 ) ^(2)) + (1) /(2)xx 4 sin ^( - 1 ) (( x - 2 ) /( 2 ) ) ] _ 0 ^( 1 ) + 2 ( ( 1 ) /(2) xsqrt( 4 - x ^(2)) + (1) /(2) xx 4 sin ^( - 1 ) ""(x)/(2) ) _ 1 ^( 2 ) `
` = [ ( x - 2 ) sqrt ( 4 - ( x - 2 ) ^(2)) + 4 sin ^( - 2 ) ( ( x - 2 ) /( 2 ) ) ] _ 0 ^(1 ) + ( x sqrt ( 4 - x^(2)) + 4 sin ^( - 1 ) ""(x)/(2)) _ 1 ^( 2 ) `
` = [ ( - sqrt3 + 4 sin ^( - 1 ) (( - 1 ) /(2)) ) - 4 sin ^( - 1 ) ( - 1 ) ] ( 4 sin ^( - 1) 1 - sqrt 3 - 4 sin ^ ( - 1 ) ""(1)/(2) ) `
` = ( - sqrt 3 - 4 xx ( pi ) /(6) + 4 xx ( pi ) /(2) ) + ( 4 xx ( pi ) /(2) - sqrt (3) - 4 xx ( pi )/(6)) `
` = ( - sqrt3 - (2pi ) /(3) + 2pi ) + ( 2pi - sqrt3 - ( 2pi ) /(3)) `
` = ( 8pi ) /(3) - 2sqrt3 ` वर्ग इकाई