सिद्ध कीजिये कि यदि त्रिभुज ABCD में बिन्दु
A, B तथा C के स्थिति-सदिश क्रमशः
`2hati-hatj+hatk, hati-3hatj-5hatk` और `3hati-4hatj-4hatk`
है, तो त्रिभुज समकोण होगा।

Explanation

`DeltaABC` में, बिन्दुओं A, B तथा C के स्थिति-सदिश क्रमशः `2hati-hatj+hatk, hati-3hatj-5hatk` तथा `3hati-4hatj-4hatk` है।
`vec(AB)=B` का स्थिति-सदिश -A का स्थिति-सदिश
`=(hati-3hatj-5hatk)-(2hati-hatj+hatk)`
`=(hati-2hati)+(-3hatj+hatj)+(-5hatk-hatk)`
`=-hati-2hatj-6hatk`
`|vec(AB)|=sqrt((-1)^(2)+(-2)^(2)+(-6)^(2))`
`=sqrt(1+4+36)=sqrt(41)`
`vec(BC)=C` का स्थिति-सदिश -B का स्थिति-सदिश
`(3hati-4hatj-4hatk)-(hati-3hatj-5hatk)`
`=(3hati-hati)+(-4hatj+3hatj)+(-4hatk+5hatk)`
`=2hati-hatj+hatk`
`|vec(BC)|=sqrt((2)^(2)+(-1)^(2)+(1)^(2))=sqrt(4+1+1)=sqrt(6)`
`vec(CA)=A` का सदिश-सदिश -C का स्थिति-सदिश
`=(2hati-hatj+hatk)-(3hati-4hatj-4hatk)`
`=(2hati-3hati)+(-hatj+4hatj)+(hatk+4hatk)`
`=-hati+3hatj+5hatk`
`|vec(CA)|=sqrt((-1)^(2)+(3)^(2)+(5)^(2))=sqrt(1+9+25)=sqrt(35)`
`|vec(AB)|=sqrt(41)implies|vec(AB)|^(2)=41`
`|vec(BC)|=sqrt(6)implies|vec(BC)|^(2)=6`
`|vec(CA)|=sqrt(35)implies|vec(CA)|^(2)=35`
`|vec(AB)|^(2)=|vec(BC)|^(2)+|vec(CA)|^(2)`
`41=6+35=41`
अतः यह समकोण त्रिभुज है।