सिद्ध कीजिये कि बिन्दुओं `6a-4b+4c` व `-4c` तथा `-a-2b-3c` व `a+2b-5c` को मिलाने वाली रेखाये एक-दूसरे को बिन्दु `-4c` पर प्रतिच्छेदित करती है।

Explanation

दो बिन्दुओं 6a-4b+4c तथा -4c को मिलाने वाली रेखा का सदिश समीकरण
`vecr=(6a-4b+4c)+lambda(-4c-6a+4b-4c)`
`vecr=(6a-4b+4c)+lambda(-6a+4b-8c)" ...(1)"`
तथा बिन्दुओं के स्थिति-सदिश -a-2b-3c तथा a+2b-5c से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण
`vecr=(-a-2b-3c)+mu(a+2b-5c+a+2b+3c)`
`=(-a-2b-3c)+mu(2a+4b-2c)" ...(2)"`
समीकरण (1) तथा (2) से, जब दोनों सरल रेखायें एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती है।
`(6a-4b+4c)+lambda(-6a+4b-8c)=(-a-2b-3c)+mu(2a+4b-2c)`
`implies6a-4b+4c-6lambdaa+4lambdab-8lambdac=-a-2b-3c+2mua+4mub-2muc`
`implies(6-6lambda)a+(-4+4lambda)b+(4-8lambda)c`
`=(-1+2mu)a+(-2+4mu)b+(-3-2mu)c`
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
`6-6lambda=-1+2mu`
`implies 6lambda+2mu=7" ...(3)"`
`-4+4lambda=-2+4mu`
`implies 4lambda-4mu=2" ...(4)"`
`4-8lambda=-3-2mu`
`implies 8lambda-2mu=7" ...(5)"`
समीकरण (3) व (5) को जोड़ने पर
`14lambda=14implieslambda=1`
समीकरण (3) में `lambda=1` रखने पर,
`6xx1+2mu=7implies2mu=7-6=1impliesmu=(1)/(2)`
समीकरण (1) में `lambda=1` रखने पर,
`vecr=6a-4b+4c+1(-6a+4b-8c)`
`=6a-4b+4c-6a+4b-8c=-4c`
अतः दोनों रेखायें एक-दूसरे को बिन्दु `-4c` पर प्रतिच्छेदित करती है।