यदि तीन समलतलीय रेखाओं की दिक् कोज्यायें `l_(1),m_(1),n_(1),l_(1),m_(2),n_(2)` व `l_(3),m_(3),n_(3)` है तो सिद्ध कीजिए की
`|{:(l_(1),m_(1),n_(1)),(l_(2),m_(2),n_(2)),(l_(3),m_(3),n_(3)):}|=0`

Explanation

हम जानते है की तीन रेखायें समतलीय होंगी यदि एक ऐसी रेखा का अस्तित्व हो जो दी गयी तीनों रेखाओं में से प्रत्येक के लंबवत हो ।
माना इस रेखा की दिक् कोज्यायें `l,m` व `n` है।
तब परिभाषानुसार
`{:(ll_(1)+mm_(1)+n n_(1)=0,...(1)),(ll_(2)+mm_(2)+n n_(2)=0,...(2)),(ll_(3)+mm_(3)+n n_(3)=0,...(3)):}`
उपरोक्त समीकरणों को l,m व n के लिए हल करने पर
`|{:(l_(1) ,m_(1),m_(1)),(l_(2) ,m_(2),m_(2)),(l_(3) ,m_(3),m_(3)):}|=0`