यदि एक चर रेखा की दो संलग्न स्थितियों में दिक् कोजायें `l,m,n` तथा `l+deltal,m+deltam,n+deltan` हो तो सिद्ध कीजिए कि
`(deltatheta)^(2)=(deltal)^(2)+(delta m)^(2)+(delta n)^(2)`
जहाँ `deltatheta` दोनों स्थितियों के मध्य कोण है ।

Explanation

हम जानते है
`l^(2)+m^(2)+n^(2)=1`
व `(l deltal)^(2)+(m+deltam)^(2)+(n+deltan)^(2)=1`
`rArr l^(2)+m^(2)+n^(2)+(deltal)^(2)+(deltam)^(2)+(deltan)^(2)+2(ldeltal+m delta m+n delta n)=1`
`rArr 1+(delta l)^(2)+(delta m)^(2)+(delta n)^(2)=1-2 (l delta l+m delta m + n delta n) " " ( :. l^(2)+m^(2)+n^()=1)`
`rArr (delta l)^(2)+(delta m)^(2)=-2(l delta l+m delta m+n delta n)....(1)`
हम जानते है की
`cos delta theta=l(l delta l)+m (m+ delta m)+n(n+delta n)`
`rArr 1-2"sin"^(-2) (delta theta)/(2)=l^(2)+m^(2)+n^(2)+(l delta l+m delta m+ n delta n).....(2)`
यदि `` अत्यंत छोटा हो तब `"sin"((delta theta)/(2))~~(delta theta)/(2)`
इसलिए समीकरण (2) से
`1-2((delta theta)/(2))^(2)=1 (l delta l+ m delta m+ n delta n)`
`rArr (delta theta)^(2)=-2 (l delta l + m delta m+ n delta n)....(3)`
समीकरण (1) व (3) से
`(delta l)^(2)+(delta m)^(2)+(delta n)^(2)=(delta theta)^(2)`