सिद्ध कीजिए कि रेखाएं `vecr=(hati+hatj-hatk)+lambda(3hati-hatj)` तथा `vecr=(4hati-hatk)+mu(2hati+3hatk)` प्रतिच्छेद करती है। उनका प्रतिच्छेद बिन्दु भी ज्ञात कीजिए|

Explanation

दिया है: `vecr=(hati+hatj-hatk)+lambda(3hati-hatj) " "....(1)`
तथा `vecr=(4hati-hatk)+mu(2hati+3hatk) " " ..(2)`
उपरोक्त समीकरणों की तुलना समीकरण `vecr=veca_(1)+lambda vecb_(1)` तथा `vecr=veca_(2)mu+vecb_(2)` से करने पर
`veca_(1)=(hati+hatj-hatk),vecb_(1)=(3hati-hatj)`
`veca_(1)=(hati+hatj-hatk)vecb_(2)=(2hati+3hatk)`
अब `veca_(2)-veca_(1)=(4hati-hatk)-(hati+hatj-hatk)=hati-hatj`
तथा `vecb_(1)xx vecb_(2)|{:(hati,hatj,hatk),(3,-1,0),(2,0,3):}|`
`=(-3-0)hati-(9-0)+hatj+(0+2)hatk`
`rArr |vecb_(1)xxvecb_(2)|=sqrt((-3)^(2)+(-9)^(2)+(2)^(2))`
`=sqrt(94)`
`:.` न्यूनतम दुरी `(S.D.)=|((vecb_(1)xxvecb_(2))*(veca_(2)-veca_(1)))/(|vecb_(1)xxvecb _(2))|`
`=|((-3hati-9hatj+2hatk)*(3hati-hatk))/(sqrt(94))|`
`=(|-9+9+0|)/(sqrt(94))=0`
`rArr` दोनों रेखाओं के बीच की न्यूनतम दुरी 0 है इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करेंगी।
अब `lambda` व `mu` के कुछ प्रतिच्छेद मानों के लिए
`(hati+hatj-hatk)+lambda(3hati-hatj)=(4hati-hatk)+mu(2hati+3hatk)`
`rArr (1+3lambda)hati(1-lambda)hatj-hatk=(4_2mu)hati+(3mu-1)hatk`
दोनों ओर `hati,hatj` व `hatk` के गुणांकों की तुलना करने पर
`1+3lambda=4+2mu`
`1-lambda=0`
व `3mu-1=-1`
उपरोक्त को हल करने पर `lambda=1` व `mu=0`
`:.` प्रतिच्छेद बिनु पर दी गयी रेखा का स्थित सदिश
` vecr= (hati+hatj-hatk)+(3hati-hatj)=(4hati-hatk)`