उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमे दो रेखायें `vecr=(hati+2hatj-4hatk)+lambda(2hati+3hatj+6hatk)` तथा `vecr=(3hati+3hatj-5hatk)-mu(-2hati+3hatj+8hatk)` अन्तर्विष्ट हों।

Explanation

प्रशानुसार
`vecr=(hati+2hatj-4hatk)+lambda(2hati+3hatj+6hatk)" "...(1)`
तथा `vecr=(3hati+3hatj-5hatk)-mu(-2hati+3hatj+8hatk) " "..(2)`
समीकरण (1) की तुलना `vecr=veca_(1)+lambdavecb_(1)` तथा समीकरण (2) की तुलना `vecr=veca_(2)+muvecb_(2)` से करने पर
`veca_(1)=hati+2hatj-4hatj, vecb_(1)= 2hati+3hatj+5hatk`
`veca_(2)=3hati+3hatj-5hatk,vecb_(2)=-2hati+3hatj+8hatk`
अब, माना समतल पर एक बिंदु `P-=P(x,y,z)` जिसका स्थित सदिश `vecr` है, है।
माना `A-=A(1,2,-4),veca(1)` का स्थित सदिश है
तब `vec(AP)=vecr-veca_(1)`
`=(x-1)hati(y-2)hatj+(z+4)hatk`
जब सदिश `vec(AP),vecb_(1)` तथा `vecb_(2)` समतलीय है, तब `[vec(AP),vecb_(1),vecb_(2)]=0`
`rArr [ vecr-veca_(1)vecb_(1)vecb_(2)]=0`
`rArr (vecr-veca_(1))*(vecb_(1)xxvecb_(2))=0`
`rArr |{:(x-1,y-2,z+4),(2,3,6),(-2,3,8):}|=0`
`rArr 6(x-1)-28(y-2)+12(z+4)=0`
`rArr 3x-14y+6z+49=0` यही समतल का अभीष्ट समीकरण है।