समतलों `vecr.(hati+hatj+hatk)=6` तथा `vecc.(2hati+3hatj+4hatk)=-5` प्रतिच्छेदन तथा (1,1,1) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

Explanation

समतलों `vecr.vecn_(1)=d_(1)` व `vecr.vecn_(2)=d_(2)` के प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण
`vecr.(vecn_(1)+lambda vecn_(2))=d_(1)+ lambda d_(2)`
यहाँ `vecn_(1)= hati+hatj+hatk,vecn_(2)=2hati+3hatj+4hatk`
`d_(1)=6,d_(2)=-5`
`:.` अभीष्ट समतल का समीकरण
`vecr.[(hati+hatj+hatk)+lambda(2hati+3hatj+4hatk)]=6-5lambda`
या `vecr.[(1+2lambda)hati+(1+3lambda)hati+(1+4lambda)hatk]=6-5lambda" "...(1)`
परन्तु समतल बिंदु (1,1,1) अथार्त `(hati+hatj+hatk)` से होकर जाता है।
`:. (hati+hatj+hatk)*[(1+2lambda)hati+(1-3lambda)hatj+(1+4lambda)hatk]=6-5lambda`
`rArr (1+2lambda)+(1+3lambda)+(1+4lambda )=6-5lambda`
`rArr 9lambda +3-5lambda`
`rArr lambda=(3)/(14)`
`lambda` का मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट समतल का समीकरण
`vecr.[(1+(6)/(14))hati+(1+(9)/(14))hatj+(1+(12)/(14))hatk]=6-5xx(3)/(14)`
`rArr vecr.[(20)/(14)hati+(23)/(14)hatj+(26)/(14)hatk]=(84-15)/(14)`
`rArr vecr.(20hati+23hatj+25hatk)=69`