समतलों `vecr.(hati+3hatj)-6=0` व `vecr.(3hati-hatj-4hatk)=0` के प्रतिच्छेद बिन्दु पर रेखा से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, मूल बिन्दु से दुरी एक इकाई है।

Explanation

दिये गये समतलों के समीकरण
`vecr.(hati+3hatj)-6=0 " "...(1)`
व `vecr.(3hati-hatj-4hatk)=0 " "..(2)`
माना `vecr=(xhati+yhati+zhatk)` तब समीकरण (1) व (2) से
`(xhati+yhatj+zhatk)*(hati+3hatj)-6=0`
`rArr x+3y-6=0 " "...(3)`
तथा `(xhati+yhati+zhatk)*(3hati-hatj-4hatk)=0`
`rArr 3x-y-4z=0" "...(4)`
दिये गये समतलों के पतरिच्छेद रेखा पर समतल का समीकरण `(x+3y-6)+lambda(3x-y-4z)` जहाँ `lambda` एक वास्तविक संख्या है।
`:.` समतल की मूल बिन्दु से दुरी 1 इकाई है।
`:. (|0+0-0-6|)/(sqrt((1+3lambda)+(3-lambda)^(2)+(-4lambda)^(2)))=1`
`rArr (1+3lambda)^(2)+(3-lambda)^(2)+(-4lambda)^(2)=36`
`rArr 26 lambda^(2)=26 rArr lambda= pm1`
`lambda` का यह मान समीकरण (5) में रखने पर
`-2x+4y+4z-6=0 rArr x-2y-2z+3=0`
यही समतल की अभीष्ट समीकरण है।