बिन्दु A(1,2,1) से जाने वाले तथा बिन्दु P(1,4,2) तथा Q(2,3,5) को मिलाने वाली रेखा के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए तथा इस समतल की रेखा `(x+3)/(2)=(y-5)/(-1)=(z-7)/(-1)` की दुरी ज्ञात कीजिए।

Explanation

बिन्दु A(1,2,1) से जाने वाले समतल का समीकरण
`a(x-1)+b(y-2)+c(z-1)=0 " "...(1)`
यहाँ समतल के लम्ब की दिक् कोज्यायें `a,b,c` है।
रेखा PQ की दिक् कोज्याये `(2-1),(3-4),(5-2)` अथार्त `1,-1,3` है।
दिया हुआ है की अभीष्ट समतल `PQ` के लंबवत है।
तब `(a)/(1)=(b)/(-1)=(c)/(3) =lambda` (माना)
`rArr a= lambda. b=- lambda` तथा `c=3lambda`
समीकरण (1) में इन मानों को रखने पर
`lambda(-1)-lambda(y-2)+3lambda(z-1)=0`
`rArrr (x-1)-(y-2)+3(z-1)=0`
`x-y+3z=2 " "....(3)`
दी गयी रेखा `(x+3)/(2)=(y-5)/(-1)=(z-7)/(-1)" "...(4)`
स्पष्तः यह रेखा बिन्दु (-3,5,7) से गुजरती है। समतल तथा रेखा के बीच की दुरी
= इस रेखा पर स्थित बिन्दु की समतल से दुरी
= बिन्दु (-3,5,7) से समतल पर डाले गये लम्ब की लम्बाई
`=(|-3-5+21-2|)/(sqrt(1^(2)+(-1)^(2)+3^(2))) =(11)/(sqrt(11))= sqrt(11)` इकाई