उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसमे समतलों `vecr. (hati-2hatj+3hatk)-4=0` तथा `vecr.(-2hati+hatj+hatk)+5=0` की प्रतिच्छेदन रेखा अन्तर्विष्ट हो तथा जिसका x-अक्ष पर अन्तः खण्ड y-अक्ष पर अन्तः खण्ड के बराबर हो ।

Explanation

समतलों की समीकरण है-
`vecr. (hati-2hatj+3hatk)=4`
और `vecr.(-2hati+hatj+hatk)=-5`
इनकी तुलना `vecr.vecn=d` से करने पर
`vecn_(1)= hati-2hatj+3hatj,d_(1)=4`
`vecn_(2)=-2hati+hatj+hatk` और `d_(2)=-5`
अब, उस समतल का समीकरण जिसमे दिए गए समतलों का प्रतिच्छेदन अन्तर्विष्ट है-
`vecr.(vecn_(1)+lambda vecn_(2))=d_(1)+lambdad_(2)`
`rArr vecr.[hati-2hatj+3hatk+lambda(-2hati+hatj+hatk)]=4-5lambda`
`rArr vecv.[(1-2lambda)hati+(2-+lambda)hatj+(3+lambda)hatk]=4-5lambda....(1)`
xऔर y-अक्षों पर दीये गये अन्तः खण्ड भी बराबर है-
`(4-5lambda)/(1-2lambda)=(4-5lambda)/(-2+lambda) rArr 3lambda=3 rArr lambda=1`
`lambda=1` समीकरण (1) में रखने पर,
`vec.[(1-2)hati+(-2+1)hatj+(3+1)hatk]=4-5xx1`
`:. vecr.(-hati-hatj+4hatk)=-1`
यही समतल की अभीष्ट समीकरण है ।