एक कलश में 3 सफेद तथा 6 लाल गेंदे है | कलश से एक-एक करके चार गेंदे प्रतिस्थापन सहित निकाली जाती है | निकाली गई लाल गेंदों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए |
बंटन का माध्य तथा प्रसरण भी ज्ञात कीजिए |

Explanation

माना p तथा q क्रमश: सफलता व असफलता की प्रायिकता है |
माना p= एक लाल गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
q= एक सफेद गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
माना X चार ड्रा में सफलता की संख्या को निरूपित करता है |
स्पष्टतः X द्विपद प्रमेय का अनुसरण करता है तथा
`p=(6)/(9)=(2)/(3), q=(3)/(9)=(1)/(3), n=4`
द्विपद बंटन का प्रयोग करने पर-
`P(X=x)=""^(4)C_(x)((1)/(3))^(4-x)((2)/(3))^(x)`
अब, `" "P(X=0)=""^(4)C_(0)((1)/(3))^(4)((2)/(3))^(0)=(1)/(81)`
`P(X=1)=""^(4)C_(1)((1)/(3))^(3)((2)/(3))^(1)=4xx(2)/(81)=(8)/(81)`
`P(X=2)=""^(4)C_(2)((1)/(3))^(2)((2)/(3))^(2)=6xx(4)/(81)=(24)/(81)`
`P(X=3)=""^(4)C_(3)((1)/(3))^(1)((2)/(3))^(3)=4xx(8)/(81)=(32)/(81)`
`P(X=2)=""^(4)C_(4)((1)/(3))^(0)((2)/(3))^(4)=1xx(16)/(81)=(16)/(81)`
अतः प्रायिकता बंटन है-

बंटन का माध्य,
`E(X)= Sigma X cdot P(X)`
`=0xx(1)/(81)+1xx(8)/(81)+2xx(24)/(81)+3xx(32)/(81)+4xx(16)/(81)`
`=(1)/(81)(0+8+48+96+64)=(216)/(81)=(8)/(3)`
तथा बंटन का प्रसरण `=E(X)^(2)-[E(X)]^(2)`
`=Sigma X^(2) P(X)-((8)/(3))^(2)`
`=[0^(2) cdot (1)/(81)+1^(2) cdot (8)/(81)+2^(2) cdot (24)/(81)+3^(2) cdot (32)/(81)+4^(2) cdot (16)/(81)]-(64)/(9)`
`=(1)/(81)[0+8+96+288+256]-(64)/(9)`
`=(648)/(81)-(64)/(9)=(648-576)/(81)=(72)/(81)=(8)/(9)`