माना त्रिभुज ABC का केन्द्रक G है|तब सिद्ध कीजिये की
` " "AB^(2)+ BC^(2) +CA^(2) =3(GA^(2) +GB^(2) +GC^(2) ) `

Explanation

चित्र से माना A के निर्देशांक (`x_1 ,y_1 ` ) है तब `Delta ABC ` के केन्द्रक G के निर्देशांक निम्न होंगें|
` " "((0+ a+x_1)/(3) , (0+ 0+y_1)/(3) ) = ((x_1+a)/(3) ,(y_1)/(3))`
इसलिए ` " "AB^(2) =(x_1 -0 ) ^(2)+ (y_1-0) ^(2)` ltbr gt` " " =x_1 ^2+ y_1^(2)`
` " "BC^(2) p=(a-0) ^(2) +(0-0) ^(2)= a^(2)`
` " "CA^(2) =(x_1-a)^(2) +(y_1-0)^(2) `
` " "= (x_1 -a)^(2) +y_1^(2)`
अतः ` " "AB^(2) +BC^(2) +CA^(2) =(x_1^(2) +y_1^(2)) +a^(2) +[ (x_1 -a)^(2) +y_1^(2) ]`

` " "=x_1^(2) +y_1^(2) +a^(2) +x_1^(2) +a^(2) -2ax _1+y_1^(2)`
तथा ` " "GA^(2) =((x_1+a)/(3) -x_ 1)^(2)+ ((y_1)/(3) -y_1)^(2) =(1)/(9) [(a-2x_1) ^(2)+ 4y_1^(2) ]`
` " "GB^(2) =((x_1+ a)/( 3) -0)^(2)+ ((y_1)/(3)-0)^(2) =(1)/(9) [(x_1+a)^(2)+ y_1^(2) ]`
व `" "GC^(2) =((x_1+a)/(3)- a ) ^(2)+ ((y_1)/( 3)-0) ^(2) =(1)/(9) [(x_1+a) ^(2)+ y_1^(2) ]`
इसलिए ` 9(GA^(@) +GB^(2) +GC^(2) ) `
` " "= [{ (a- 2x_1) ^(2)+ (x_1+a)^(2) +(x_1-2a)^(2)} +(4y_1^(2) +y_1^(2) +y_1^(2) ) ]`
` " "= 6( x_1^(2) +a^(2) -ax_1+ y_1^(2) ) `
समीकरण (1 ) व (2 )से
` " "AB^(2) +BC^(2) +CA^(2) =3(GA^(2) +GB^(2) +GC^(2) )`