a व b मीटर ऊँचाई के तथा p मीटर की दुरी पर स्थित दो खम्बे है | सिद्ध कीजिए कि दोनों खम्बो के शीर्षो को मिलाने वाली रेखा के प्रतिच्छेद बिंदु की ऊँचाई `(ab)/(a + b)` मीटर होगी |

Explanation

आकृति से, इसमें AB तथा CD दो खम्बे है तथा `AB = a, CD = b` तथा AC = p
माना कि, रेखा AD तथा BC O पर मिलते है तथा OL = h मीटर है |
माना कि CL = x तथा AL = y
तब `x + y = p`
अब `triangleABC` तथा `triangleLOC` में,
`angle CAB = angleCLO (- 90^(@)` प्रत्येक)
`angleC = angleC`
तब समरूपता की AA-कसौटी द्वारा,
`triangleCAB ~ triangleCLO`
इसलिए, `(CA)/(CL) = (AB)/(LO) " "`(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय द्वारा)
`rArr (p)/(x) = (a)/(h) rArr x (ph)/(a)" "...(1)`
अब `triangleALO` तथा `triangleACD` में,
`angle ALO = angle ACD (- 90^(@)` प्रत्येक)
तब पुनः AA-समरूपता द्वारा, `triangleALO ~ triangleACD`
इसलिए, `(AL)/(AC) = (OL)/(DC)" "`(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय द्वारा)
`rArr (y)/(p) = (h)/(b) rArr y = (ph)/(b) " "....(2)`
समी० (1) व (2) से, `x + y = (ph)/(a) + (ph)/(b)`
`rArr p = ph((1)/(a) + (1)/(b)) rArr 1 = h((a+b)/(ab))`
अतः `h = ((ab)/(a+b))` मीटर