दी गई आकृति में, एक वर्ग DEFG है तथा `angle BAC = 90^(@)` है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) `triangleAFG ~ triangle DBG`
(ii) `triangle AGF~ triangle EFC`
(iii) `triangle DBG~triangleEFC`
(iv) `(DE)^(2) = BD xx EC`

Explanation

(i) `triangle AGH` तथा `triangle DBG` से,
`angle GAF = angle BDG " "`(प्रत्येक `= 90^(@)`)
तथा `angle AGF = angle dBG" "`(संगत कोण)
तब समरूपता की AA-कसौटी द्वारा,
`triangle AGF~triangle DBG`
(ii) अब `triangle AGF` तथा `triangle EFC` में, `angle FAG = angle CEF" "`(प्रत्येक `=90^(@)`)
`angle AFG = angle ECF" "`(सगट कोण )
तब समरूपता की AA-कसौटी द्वारा,
`triangle AGF ~ triangle EFC`
(iii) चूँकि `triangle AGF~triangle DBG` तथा `triangle AGF~triangle EFC`
इसलिए, `triangle DBG~triangle EFC`
(iv) निष्कर्ष (iii) से, `triangle DBG ~ triangle EFC`
तब आधारभूत समानुपातिक प्रमेय द्वारा,
`(BD)/(EF) = (DG)/(EC)`
चूँकि DEFG एक वर्ग है, `EF = DE, DG = DE`
इसलिए, `(BD)/(DE) = (DE)/(EC) rArr (DE)^(2) = BD xx EC`