एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की एक भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके कर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है |

Explanation

माना, कि एक `triangle ABC` है जिसमे `angle ABC = 90^(@)` तथा AB = BC है |
यह दिया है, कि `triangle ABD` तथा `triangle ACE` समबाहु त्रिभुज है |
हमे सिद्ध करना है कि,
`(triangle ABD)` का क्षेत्रफल `=(1)/(2) (triangle CAE)` का क्षेत्रफल
माना कि, `AB = BC = x` इकाई
तब, `CA = sqrt(AB^(2) + BC^(2))`
` = sqrt(x^(2) + x^(2)) = xsqrt(2)` इकाई
अब `triangle ABD` तथा `triangle CAE` में, प्रत्येक कोण `60^(@)` है क्योकि त्रिभुज समबाहु है |
इसलिए, `triangle ABD ~ triangle CAE`
हम जानते कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलो का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गो के अनुपात के बराबर होता है |
इसलिए, `((triangle ABD)"का क्षेत्रफल")/((triangle CAE)"का क्षेत्रफल") = ((AB)^(2))/((CA)^(2)) = (x^(2))/((xsqrt(2))^(2)) = (x^(2))/(2x^(2)) = (1)/(2)`
अतः `(triangle ABD)` का क्षेत्रफल `= (1)/(2)(triangle CAE)` का क्षेत्रफल