एक सबहि त्रिभुज ABC में, भुजा BC, D पर समद्विभाजित है तो सिद्ध कीजिए कि, `9AD^(2) = 7AB^(2)`

Explanation

यहाँ आकृति (चित्र 1.121) में, ABC एक समबाहु त्रिभुज है तथा BC पर कोई बिन्दु D है |
तथा `BD = (1)/(3)BC`
अब `AE bot BC` खींचा तथा AD को मिलाया |
अब `triangle AEB` तथा `triangle AEC` में, यहाँ AB = AC
`angle AEB = angle AEC = 90^(@)`
तथा AE = AE
तब समरूपता की RHS-कसौटी द्वारा,
`triangle AEB ~ triangle AEC rArr BE = EC`
तब यहाँ `BD = (1)/(3) BC, DC = (2)/(3) BC, BE + EC = (1)/(2) BC" "...(1)`
अब चूँकि `angle C = 60^(@) rArr ADC` एक न्यून त्रिभुज है तब यहाँ,
`AD^(2) = AC^(2) + DC^(2) - 2CD * EC`
` = AC^(2) + ((2)/(3) BC)^(2) - 2 xx (2)/(3) BC xx (1)/(2) BC " "` [समी० (1) से ]
`rArr AD^(2) = AC^(2) + (4)/(9) BC^(2) - (2)/(3) BC^(2)`
` = AB^(2) + (4)/(9) AB^(2) - (2)/(3)AB^(2) " " (because AB = BC = AC)`
` rArr AD^(2) = (9AB^(2) + 4 AB^(2) - 6AB^(2))/(9) = (7)/(9) AB^(2)`
अतः `9AD^(2) = 7 AB^(2)`