AB एक रेखाखण्ड है तथा M उसका मध्यबिंदु है। AM, MB तथा AB को व्यास मानकर रेखा AB के एक ओर अर्द्ध C(O, r) वृत्त खींचे गये हैं । एक वृत्त ऐसा खींचा गया है , जो इन tinon अर्द्ध वृतों को स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि `r = (1)/(6)AB`

Explanation

यहाँ O, P, L और बिन्दु O, Q, N संरेख हैं। इसी प्रकार R, O, M संरेख हैं।
माना AB = x
`:. OL = r + (x)/(4)` व `ON = r + (x)/(4)`
`(because PL = LM = (x)/(4))`
`because OLN` एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा M, आधार LN का मध्य बिन्दु है। इसलिए OM, LN पर लम्ब है।
`rArr Delta OML` एक समकोण त्रिभुज होगा ।
`:. OL^(2) = OM^(2) + LM^(2)`
`rArr (r + (x)/(4))^(2) = (RM - r)^(2) + ((x)/(4))^(2) = (x^(2)-r)^(2) + ((x)/(4))^(2)`
`rArr r^(2) + (rx)/(2) + (x^(2))/(16) = (x^(2))/(4) + r^(2) - rx + (x^(2))/(16) rArr (3rx)/(2) = (x^(2))/(4)`
अतः `r = (x)/(6) = (1)/(6) AB`