एक वृत्त चतुर्भुज ABCD की भुजाओं को क्रमशः P, Q, R व S पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिये की वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाऐं केंद्र पर सम्पूरक कोण बनाती है।

Explanation

माना ABCD एक चतुर्भुज इस प्रकार है कि O केंद्र का वृत्त इसकी भुजाओं AB, BC, CD तथा DA को क्रमशः P, Q, R व S पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है कि
`angle AOB + angle COD = 180^(@)`
तथा `angle AOD + angle BOC = 180^(@)`
हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से डाली गयी दो स्पर्श रेखाऐं , वृत्त के केंद्र पर बराबर कोण अन्तरित करती है।
`angle 1 = angle 2, angle 3 = angle 4, angle 5 = angle 6, angle 7 = angle 8` ....(1)
स्पष्टतः `angle 1 + angle 2 + angle 3 +....+angle 8 = 360^(@)` ...(2)
समी० (1) व (2) से
`2(angle2 + angle 3 + angle 6 + angle 7) = 360^(@)`
`rArr (angle 2 + angle 3) + (angle 6 + angle 7) = 180^(@)`
व `2(angle 1 + angle 8 + angle 4 + angle 5) = 360^(@)`
`rArr (angle 1 + angle 8) + (angle 4 + angle 5) = 180^(@)`
अब `angle 2 + angle 3 = angle AOB, angle 6 + angle 7 = angle COD`
`angle 1 + angle 8 = angle AOD, angle 4 + angle 5 = angle BOC`
उपरोक्त समीकरण का प्रयोग करने पर
`angle AOB + angle COD = 180^(@)` तथा `angle AOD + angle BOC = 180^(@)`