यदि किसी समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0,0) तथा `(0, 2sqrt(3))` है तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए |

Explanation

माना ` O -= (0, 0)`
`A -= A (0, 2sqrt(3))` तथा माना तीसरा शीर्ष `B(x, y)` है |
`therefore OB = sqrt((x-0)^(2) + (y-0)^(2))=sqrt(x^(2) + y^(2))" "...(i)`
`OA = sqrt((0-0)^(2) + (0-2sqrt(3))^(2)) = sqrt(12)" "...(ii)`
तथा `AB = sqrt((x-0)^(2) + (y-2sqrt(3))^(2))`
` = sqrt(x^(2) + y^(2) - 4sqrt(3)y + 12)" "...(iii)`
हम जानते है कि समबाहु त्रिभुज होने के लिए उसकी तीनो भुजाएँ बराबर होनी चाहिए |
अर्थात `OA = OB = AB`
`rArr (OA)^(2) = (OB)^(2) = (AB)^(2)`
समी० (i), (ii) व (iii) का प्रयोग करने पर,
`x^(2) + y^(2) = 12 = x^(2) + y^(2) - 4sqrt(3)y + 12`
`therefore x ^(2) + y^(2) =12`
तथा `x^(2) + y^(2) = x^(2) + y^(2) - 4sqrt(3)y + 12`
या `x^(2) + y^(2) = x^(2) + y^(2) - 4sqrt(3)y + 12`
या `y = sqrt(13)`
`therefore x^(2) + (sqrt(3))^(2) = 12 rArr x = pm 3`
इसलिए समबाहु त्रिभुज का तीसरी शीर्ष `(3,sqrt(3))` या `(-3,sqrt(3))` होगा |