सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज का केन्द्रक वही है जो उसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का होता है |

Explanation

माना `triangle ABC` के शीर्ष `A(x_(1), y_(1)), B(x_(2), y_(2))` तथा `C(x_(3), y_(3))` है | इसके केन्द्रक `G_(1)` के निर्देशांक
`G_(1) = ((x_(1) + x_(2) + x_(3))/(3),(y_(1)+y_(2) + y_(3))/(3))`
प्रश्नानुसार, माना D,E,F क्रमशः भुजाओं BC,CA तथा AB के मध्य बिन्दु है |
तब, `D -=((x_(2)+x_(3))/(2),(y_(2)+y_(3))/(2)), E-=((x_(1)+x_(3))/(2),(y_(1)+y_(3))/(2)),`
`F-=((x_(1)+x_(2))/(2), (y_(1)+y_(2))/(2))`
अब `triangleDEF` का केन्द्रक
`G_(2) = [(1)/(3)((x_(3)+x_(2))/(2),(x_(3)+x_(1))/(2)+(x_(1)+x_(2))/(2)), (1)/(3)((y_(3)+y_(2))/(2)+(y_(3)+y_(1))/(2)+(y_(1)+y_(2))/(2))]`
` = ((x_(1)+x_(2)+x_(3))/(3),(y_(1)+y_(2)+y_(3))/(3))`
स्पष्टतः `G_(1)` व `G_(2)` एक ही बिन्दु को व्यक्त करते है |