सदिश `vec(A)` तथा `vec(B)` के लिए सिद्ध कीजिये -
(i) `(vec(A)+vec(B))^(2)-(vec(A)-vec(B))^(2)=4(vec(A)*vec(B))`
(ii) `(vec(A)+vec(B))xx(vec(A)-vec(B))=-2(vec(A)xxvec(B))`
(iii) `(vec(A)xxvec(B))^(2)+(vec(A)*vec(B))^(2)=A^(2)B^(2)`
(iv) `vec(A)*(vec(A)xxvec(B))=0`

Explanation

माना सदिश `vec(A)` व `vec(B)` के बीच कोण `theta` है
(i) हम जानते है कि `(vec(A))^(2)=vec(A)*vec(A)=A*Acos0=A^(2)`
अतः `(vec(A)+vec(B))^(2)-(vec(A)-vec(B))^(2)=|vec(A)+vec(B)|^(2)-|vec(A)-vec(B)|^(2)`
`=(A^(2)+B^(2)+2ABcostheta)-(A^(2)+B^(2)-2ABcostheta)`
`=4ABcostheta=4(vec(A)*vec(B))` यही सिद्ध करना था |
(ii) `(vec(A)+vec(B))xx(vec(A)-vec(B))=vec(A)xxvec(A)-vec(A)xxvec(B)+vec(B)xxvec(A)-vec(B)xxvec(B)`
`=0-vec(A)xxvec(B)-vec(A)xxvec(B)-0" "{:[(becausevec(A)xxvec(A)=vec(B)xxvec(B)=0),(" "vec(B)xxvec(A)=-vec(A)xxvec(B))]:}`
`=-2(vec(A)xxvec(B))" "` यही सिद्ध करना था
(iii) `(vec(A)xxvec(B))^(2)+(vec(A)*vec(B))^(2)`
`=|vec(A)xxvec(B)|^(2)+(vec(A)*vec(B))^(2)`
`=(ABsintheta)^(2)+(ABcostheta)^(2)`
`=A^(2)B^(2)(sin^(2)theta+cos^(2)theta)`
`=A^(2)B^(2)*1=A^(2)B^(2)` यही सिद्ध करना था
(iv) `vec(A)xxvec(B)` की दिशा A व B दोनों के लम्बवत होती है अतः
`vec(A)*(vec(A)xxvec(B))=(A)(|vec(A)xxvec(B)|)cos90^(@)`
`=(A)(ABsintheta)xx0=0` यही सिद्ध करना था