एक कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में चक्कर लगा रहा है । इसकी कक्षीय चाल पृथ्वी तल से पलायन चाल की आधी है।
(i) पृथ्वी तल से उपग्रह की ऊँचाई ज्ञात कीजिये ।
यदि उपग्रह अपनी कक्षा में अचानक रुक जाये तथा पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरे तो यह पृथ्वी तल पर कितनी चाल से टकरायेगा ? `(g=9.8"मीटर/सेकण्ड"^(2)`, पृथ्वी की त्रिज्या `R_(e)=6400` किमी)

Explanation

(i) माना उपग्रह की पृथ्वी तल से ऊँचाई h है । अतः इसकी कक्षीय चाल
`v_(o)=sqrt((GM_(e))/(R_(e)+h))` . . . (1)
प्रश्नानुसार `v_(o)=(v_(e))/(2)=(1)/(2)sqrt((2GM_(e))/(R_(e)))=sqrt((GM_(e))/(2R_(e)))` . . . (2)
समीकरण (1) व (2) से,
`R_(e)+h=2R_(e)`
`thereforeh=2R_(e)-R_(e)=R_(e)=6400` किमी
(ii) यदि उपग्रह अपनी कक्षा में अचनाक रुक जाये तो कक्षा में इसकी कुल ऊर्जा
`E_(1)=K.E.+P.E=0-(GM_(e)m)/(R_(e)+h)=-(GM_(e)m)/(R_(e)+h)`
जहाँ m उपग्रह का द्रव्यमान है । यदि उपग्रह पृथ्वी पर v चाल से टकराये तो पृथ्वी पर टकराते समय इसकी कुल ऊर्जा
`E_(2)=K.E.+P.E=(1)/(2)mv^(2)-(GM_(e)m)/(R_(e))`
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण से, `E_(2)=E_(1)`
`(1)/(2)mv^(2)-(GM_(e)m)/(R_(e))=-(GM_(e)m)/(R_(e)+h)=-(GM_(e)m)/(R_(e)+R_(e))`
`therefore(1)/(2)mv^(2)=(GM_(e)m)/(R_(e))-(GM_(e)m)/(2R_(e))=(GM_(e)m)/(2R_(e))`
`v^(2)=(GM_(e))/(R_(e))=(GM_(e))/(R_(e)^(2))*R_(e)=g*R_(e)`
मान रखने पर `v^(2)=9.8xx6400xx10^(3)=6.272xx10^(7)`
`thereforev=7.92xx10^(3)` मीटर/सेकण्ड
=7.92 मीटर/सेकण्ड