पृथ्वी के पृष्ठ से उर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर कोई रॉकेट 5 किमी /सेकण्ड की चाल से दागा जाता है । पृथ्वी पर वापस लौटने से पूर्व यह रॉकेट पृथ्वी से कितनी दूरी तक जायेगा ? पृथ्वी का द्रव्यमान`=6.0xx10^(24)` किग्रा , पृथ्वी की माध्य त्रिज्या `=6.4xx10^(6)` मीटर तथा `G=6.67xx10^(-11)" मीटर"^(2)//किग्रा^(2)`|

Explanation

माना m द्रव्यमान का रॉकेट v वेग से उर्ध्वाधरतः ऊपर को दागा जाता है तथा यह पथ्वी से h ऊँचाई पर पहुँचता है ।
रॉकेट की गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv^(2)`
पृथ्वी की सतह पर रॉकेट की स्थितिज ऊर्जा
`U_(0)=-(GM_(e)m)/(R_(e))`
पृथ्वी की सतह से h ऊँचाई पर रॉकेट की स्थितिज ऊर्जा
`U_(h)=-(GM_(e)m)/((R_(e)+h))`
`therefore` स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि
`DeltaU=U_(h)-U_(0)`
`DeltaU=-(GM_(em))/((R_(e)+h))-(-(GM_(e)m)/(R_(e)))`
`=GM_(e)m[(1)/(R_(e))-(1)/((R_(e)+h))]`
`=GM_(e)m[(R_(e)+h-R_(e))/(R_(e)(R_(e)+h))]`
`=GM_(e)mxx(h)/(R_(e)(R_(e)+h))`
लेकिन, `GM_(e)gR_(e)^(2)`
`thereforeDeltaU=gR_(e)^(2)xx(h)/(R_(e)(R_(e)+h))`
`=(mgh)/((R_(e)(R_(e)+h))/(R_(2)^(2)))=(mgh)/((1+(h)/(R_(e))))`
ऊर्जा संरक्षण के नियमानुसार,
रॉकेट की गतिज ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि
`(1)/(2)mv^(2)=(mgh)/((1+(h)/(R_(e))))`
`v^(2)(1+(h)/(R_(e)))=2gh`
`v^(2)R_(e)+v^(2)h=2ghR_(e)`
`v^(2)R_(e)=h(2gR_(e)-v^(2))`
`h=((v^(2)R_(e))/(2gR_(e)-v^(2)))`
यहाँ , रॉकेट की चाल v=5 किमी/सेकण्ड `=5xx10^(3)` मीटर/सेकण्ड
पृथ्वी का द्रव्यमान `M_(e)=6.0xx10^(24)` किग्रा
पृथ्वी की त्रिज्या `R_(e)=6.4xx10^(6)` मीटर
गुरुत्वाकर्षण बल g=9.8 `"मीटर"/"सेकण्ड"^(2)`
`thereforeh=((5xx10^(3))^(2)xx6.4xx10^(6))/((2xx9.8xx6.4xx10^(6))-(5xx10^(3))^(2))`
`=(25xx6.4xx10^(12))/(9.8xx12.8xx10^(6)-25xx10^(6))`
`=1.6xx10^(6)` मीटर
`=1600xx10^(3)` मीटर
`=1600` किमी
`therefore` पृथ्वी के केंद्र से दूरी
`r=R_(e)+h`
`=6.4xx10)+1.6xx10^(6)`
`=8.0xx10^(6)` मीटर