किसी रॉकेट को मंगल ग्रह के पृष्ठ से 2 किमी /सेकण्ड की चाल से ऊर्ध्वाधर ऊपर दागा जाता है । यदि मंगल के वातावरणीय प्रतिरोध के कारण इसकी `20%` आरम्भिक ऊर्जा नष्ट हो जाती है, तब मगल ग्रह के पृष्ठ पर वापस लौटने से पूर्व यह रॉकेट मंगलग्रह से कितनी दूरी तक जायेगा ? मंगल ग्रह का द्रव्यमान `=6.4xx10^(23)` किग्रा ,मंगल ग्रह की त्रिज्या =3395 किमी तथा `G=6.67xx10^(-11)N-m^(2)//kg^(2)`|

Explanation

दिया है,
रॉकेट की चाल =2 किमी /सेकण्ड
`=2xx10^(3)` मीटर/सेकण्ड
मंगल का द्रव्यमान `M_(m)=6.4xx10^(23)` किग्रा
मंगल की त्रिज्या `R_(m)=3395` किमी
`=3.395xx10^(6)` मीटर
`G=6.67xx10^(-11)N-m^(2)//kg^(2)`
रॉकेट की प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv^(2)`
मंगल के वातावरणीय प्रतिरोध के कारण इसकी `20%` आरम्भिक ऊर्जा नष्ट हो जाती है।
`therefore` कुल गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv^(2)xx(8)/(100)=(2)/(5)mv^(2)`
माना रॉकेट मंगल ग्रह की सतह से h ऊँचाई तक पहुँचता है।
`therefore` स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि `=-(GM_(m)m)/((R_(m)+h))-(-(GM_(m)m)/(R_(m)))`
`=-GM_(m)m[(1)/(R_(m))-(1)/((R_(m)+h))]`
`=-GM_(m)m[(R_(m)+h-R_(m))/(R_(m)(R_(m)+h))]`
`=-GM_(m)mxx(h)/(R_(m)(R_(m)+h))`
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि = कुल गतिज ऊर्जा
`GM_(m)mxx(h)/(R_(m)(R_(m)+h))=(2)/(5)mv^(2)`
या `((R_(m)+h)/(h))=(5)/(2)(GM_(m))/(R_(m)v^(2))`
`(R_(m))/(h)+1=(5)/(2)(GM_(m))/(R_(m)v^(2))`
`(R_(m))/(h)=(5)/(2)(GM_(m))/(2R_(m)v^(2))-1`
`=(5xx6.67xx10^(-11)xx6.4xx10^(23))/(2xx3.395xx10^(6)xx(2xx10^(3))^(2))-1`
या `=(5xx6.67xx6.4)/(2xx3.395xx4)-1`
`=(213.44)/(27.16)-1`
`=7.85826-1=6.85826`
`h=(R_(m))/(6.85862)=(3395)/(6.85862)` किमी
=494.99 किमी
`~~495` किमी