धातु के तीन संकेन्द्री गोलीय कोशों A,B or C की त्रिज्याओं a,b व c `(a lt b lt c)` हैं तथा इनके पृष्ट आवेश धनत्व क्रमश: `sigma, -sigma` व `sigma` हैं (चित्र)।
(i) तीनों गोलीय कोशों A,B or C के विभव ज्ञात कीजिये।

(ii) यदि कोश A व C समान विभव पर हों तो त्रिज्याओं a,b व c में सम्बन्ध ज्ञात कीजिये।

Explanation

हम जानते हैं की R त्रिज्या के आवेशित केंद्र से r दुरी पर विभव, बाह्म स्थिति में,
`V_("out") = 1/(4piepsilon_(0))q/r=1/(4piepsilon_(0))(4piR^(2)sigma)/( r) = sigma/(epsilon_(0))R^(2)/r`
पृष्ट पर,`V_(S) =1/(4piepsilon_(0))q/R=1/(4piepsilon_(0))(4piR^(2)sigma)/R=(sigmaR)/(epsilon_(0))`
आतंरिक बिंदु पर,
`V_(in) = V_( s)=(sigmaR)/(epsilon_(0))`
(i) किसी गोलीय कोश के पृष्ट पर परिणामी विभव उस पृष्ट पर सभी गोलीय कोशों के कारण उत्पन्न विभव के बीजगणितीय योग के बराबर होगा। अतः गोलीय कोश A का विभव
`V_(A)=(V_(A))_(s) + (V_(B))_(in) + (V_(C))_(in)`
`=(sigma a)/(epsilon_(0))+(-sigma b)/(epsilon_(0))=sigma/epsilon_(0)[a -b +c]`
गोलीय कोश B का विभव,
`V_(B) = (V_(A))_("out") +(V_(B))_("s")+(V_(C))_("in")`
`sigma/(epsilon_(0)).a^(2)/b+(-sigma b)/(epsilon_(0)) + (sigma)/(epsilon_(0))[a^(2)/b-b+c]`
गोलीय कोश C का विभव,
`V_(C ) = (V_(A))_("out") + (V_(B))_("out") + (V_(C))_(S)`
`=sigma/epsilon_(0)a^(2)/c + (-sigma)/epsilon_(0). b^(2)/c+ sigma/(epsilon_(0))c`
`=sigma/(epsilon_(0))[(a^(2)-b^(2))/c+c]`
प्रश्नानुसार,
`V_(A)=V_(C)`
`sigma/(epsilon_(0))[a-b+c]= sigma/(epsilon_(0))[(a^(2)-b^(2))/c+c]`
`c(a-b)=a^(2)-b^(2)=(a+b)(a-b)`
c=a+b `[therefore (a-b) ne 0]`